高等数学A课程教学大纲

　　课程代号：********               课程类别：公共基础课

　　课程学分：8                     课程学时：128学时　  　

　　适用专业：本科高等数学A所有专业

　　先修课程：无

　　一、课程性质与教学目标

　　《高等数学》是一门应用广泛的公共基础课程。它既在人才素质培养和思维提升方面有举足轻重的作用，又在高等教育中有着其他课程无法替代的专业服务能力与素质培养功能，也是对学生思维品质和能力进行培养的重要途径。更是学生学习后续专业课程、继续深造学习必不可缺的基础。

　　通过本课程的学习使学生掌握必备的高等数学知识和应用技能，通过基础知识、基本理论和基本运算技能学习，培养学生的理性思维，并以此为工具提高学生对专业知识的学习和研究能力。通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力和自学能力，特别要培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

　　二、课程教学学时分配

　　三、课程教学内容及要求

　　1. 函数

　　（1）函数的概念

　　（2）反函数与复合函数

　　（3）初等函数

　　（4）函数模型

　　教学要求：了解函数的概念、函数的表示法，函数的性质。会求函数值及定义域。了解反函数概念，理解复合函数概念，会分析复合函数的复合过程。 掌握初等函数的性质及部分图像。

　　教学重点和难点：

　　重点：邻域的概念； 函数的有界性；复合函数的概念及复合过程； 初等函数的概念。

　　难点：函数的有界性； 复合函数的概念及复合过程。

　　2. 极限与连续

　　（1）数列的极限、函数的极限

　　（2）无穷小与无穷大

　　（3）极限的运算法则

　　（4）极限存在准则和两个重要极限

　　（5）无穷大的比较

　　（6）函数的连续性

　　教学要求：

　　（1）理解极限的概念（对极限的ε-N，ε-δ定义在学习过程中了解，对于给出ε求N或δ不作考试的要求）。 掌握极限四则运算法则，会用极限四则运算法则计算基本类型的函数极限。

　　（2）了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

　　（3）了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，了解无穷小的运算性质及阶的比较，会用等价无穷小求极限。

　　（4） 理解函数在一点连续的概念，会判断函数在某一点（包括分段函数在分段点处）的连续性。 了解初等函数的连续性，会应用闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理和介值定理）。

　　教学重点和难点：

　　重点：极限概念；无穷小及函数连续性概念；两个重要极限； 极限的求法。

　　难点：极限概念；无穷小及函数连续性概念；两个重要极限的应用；极限的求法。

　　3. 导数和微分

　　（1）导数概念

　　（2）求导法则

　　（3）高阶导数

　　（4）隐函数与参变量函数的导数

　　（5）微分

　　（6）导数在经济学中的简单应用

　　教学要求：

　　（1）理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系；

　　（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

　　（3）了解高阶导数的概念, 会求简单函数的n阶导数。

　　（4）掌握初等函数一、二阶导数的求法。会求复合函数、反函数的导数。

　　教学重点和难点：

　　重点： 导数的概念； 求导法则（复合函数、隐函数、幂指函数的求导）。

　　难点：导数的概念及几何意义； 函数的求导方法（复合函数、隐函数、幂指函数的求导）。

　　4. 一元函数微分学应用

　　（1）微分中值定理

　　（2）洛必达法则

　　（3）函数的单调性与极值

　　（4）曲线的凹凸性和拐点

　　（5）优化问题

　　教学要求：

　　（1）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理。

　　（2）会用罗尔定理和拉格朗日中值定理进行简单的推理证明。

　　（3）会用洛必达法则求不定式'0/0'与'∞/∞'型以及可化为这两种形式的不定式极限。

　　（4）掌握用一阶导数判别函数单调性及确定单调区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。

　　（5）理解函数的极值概念，掌握极值点与极值的求法。会求最值的实际应用问题。

　　（6）理解曲线凹凸性与拐点的概念，并能做出相应的判断。

　　教学重点和难点：

　　重点： 微分中值定理； 洛必达法则； 函数的单调性、极值与最值； 函数图形的凹凸性、拐点。

　　难点： 罗尔定理与拉格朗日中值定理及其应用； 洛必达法则； 函数极值的求法。

　　5．不定积分

　　（1）不定积分的概念与性质

　　（2）换元积分法

　　（3）分部积分法

　　教学要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质。 掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

　　教学重点和难点：

　　重点：不定积分的概念与性质；基本积分法；几类特殊初等函数的积分。

　　难点：原函数与不定积分的概念； 不定积分的第一类换元法和分部积分法。

　　6．定积分

　　（1）定积分概念及其基本性质

　　（2）微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）

　　（3）定积分的计算

　　（4）反常积分

　　（5） 定积分的应用.

　　教学要求：

　　（1）理解定积分的概念和基本性质；理解变上限的积分函数及其求导定理；掌握牛顿-莱布尼兹公式并能熟练地用此公式计算定积分。

　　（2）熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷限的反常积分的概念，会计算简单的无穷限的反常积分，了解函数.

　　（3）掌握用定积分计算平面区域的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体体积；掌握积分在经济学中的简单应用.

　　教学重点和难点：

　　重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）；定积分的计算；无穷限的反常积分的概念及计算；定积分的几何应用；积分在经济学中的应用。

　　难点：定积分的概念及应用；定积分的计算；定积分计算平面区域的面积和旋转体的体积；定积分的经济应用。

　　7.多元函数微积分

　　（1）空间曲面

　　（2）多元函数

　　（3）偏导数

　　（4）全微分

　　（5）多元函数微分法

　　（6）多元函数的极值

　　（7）多元函数的最优化问题

　　（8）二重积分

　　教学要求:

　　（1）理解空间直角坐标系；了解空间中常见图形的方程.

　　（2）理解多元函数的概念，会求函数的定义域.

　　（3）了解二元函数的极限与连续的概念；会计算二元函数的极限.

　　（4）理解偏导数和全微分的概念，掌握多元函数一阶、二阶偏导数的求法，理解偏导数在经济中的简单应用；了解全微分存在的必要条件和充分条件，会求多元函数的全微分.

　　（5）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数.

　　（6）会求隐函数的偏导数.

　　（7）理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题.

　　（8）理解二重积分的概念，了解二重积分的性质；掌握二重积分的计算方法 (直角坐标、极坐标)以及二重积分和累次积分的转化；掌握二重积分的应用.

　　教学重点和难点：

　　重点：二元函数的极限与连续性；函数的偏导数和全微分；多元复合函数偏导数、隐函数的偏导数；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）.

　　难点： 二元函数的极限；全微分形式的不变性；多元复合函数偏导数的求解、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法、多元函数的最值；二重积分和累次积分的转化；二重积分的应用。

　　8.无穷级数

　　（1）数项级数的概念与性质

　　（2）数项级数敛散性判别法

　　教学要求：

　　（1）了解数项级数及其敛散性的基本概念，理解数项级数的基本性质.

　　（2）理解正项级数概念及其敛散性判别.

　　（3）理解交错级数概念及其敛散性判别.

　　（4）理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，掌握级数绝对收敛与条件收敛的判定方法.

　　教学重点和难点：正项级数的敛散性判别；交错级数的敛散性判别；绝对收敛与条件收敛。

　　9. 常微分方程

　　（1） 常微分方程的基本概念

　　（2）一阶微分方程

　　教学要求：理解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握一阶变量可分离的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法。

　　教学重点和难点：

　　重点：可分离变量的微分方程；一阶线性微分方程。

　　难点：齐次微分方程；一阶非齐次线性微分方程。

　　四、教材与参考书

　　教材：

　　1．黄玉娟主编，《高等数学》（上册），中国水利水电出版社， 2018.8 ；

　　2．黄玉娟主编，《高等数学》（下册），中国水利水电出版社， 2018.8 ；

　　参考书：

　　1. 同济大学数学系编，《高等数学》，高等教育出版社，2017.4.

　　2.刘玉琏主编，《数学分析》(第六版)，高等教育出版社，2019.5

　　五、课程考核方式与成绩评定办法

　　1．考核方式：考试

　　2. 成绩评定：总成绩100分=平时成绩40% +考试成绩60%

　　平时成绩：以考勤、作业、形成性考核成绩进行评定